【中3数学】三平方の定理とは?テストで役立つ辺の比7パターンと公式・証明を紹介

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有名な数学の定理を聞かれると、「三平方の定理」を思い浮かべる人も多いのではないでしょう。

もしかしたら、「ピタゴラスの定理」という名前のほうが、なじみ深いかもしれません。

「三平方の定理」は、直角三角形の辺の長さを求めるときに使える、シンプルで基本的な定理。とても便利で使い勝手がよく、高校入試で図形問題を解くときに必要になってきます。

そのため、理解が曖昧なままで放置してしまうと、手遅れになってしまう可能性も…。定理自体はとても簡単なので、この機会にしっかりとマスターしておきましょう!

この記事では、オンライン受験コンサルティング「ポラリスアカデミア」代表の吉村 暢浩さんに監修いただき、解き方のコツや応用問題の対処法なども紹介します。

「三平方の定理」を理解するためのポイントや例題を詳しく解説していきますので、ぜひ参考にしてください。

吉村 暢浩
この記事を監修した専門家
吉村 暢浩

Ameba塾探し 専門家

2014年 京都大学工学部電気電子工学科に現役合格。その後、某個別指導塾にて講師を勤め、3年ほど受験指導にあたる。
2016年 個人事業主としてオンライン家庭教師を開始。逆転合格を目指す生徒に主に勉強法や計画づくりの指導をおこなう。
2018年 京都大学を卒業し、同大学大学院に進む。
2019年 大学院を退学し、受験コンサルティング事業「ポラリスアカデミア」を立ち上げる。
2021年 株式会社ポラリスを設立し、ポラリスアカデミア本格始動。在籍講師も100名を超え(すべて東大・京大合格者)、現在では約200名の受験生に対し、QVSAサイクルを用いた大学受験のコンサルティングをおこなっている。 

三平方の定理とは?公式を紹介

三平方の定理のイラスト

三平方の定理とは、直角三角形において3辺の長さの関係を表す公式のことをいいます。

直角と隣り合う2辺の長さをそれぞれab、直角の向かい側にある最も長い辺(斜辺)の長さがcとなる直角三角形があるとします。

このとき、a²+b²=c²が成り立つのです。これが三平方の定理。とてもシンプルですよね!

この定理を使えば、直角三角形の2辺の長さがわかっているときに、残りの辺の長さを求めることができます。

三平方の定理は基本的に中学3年生の数学で習いますが、高校数学でも必須。

また、高校入試レベルの問題では、そのままの形で登場することはほとんどなく、相似や合同など、応用問題を解く際のパーツとして必要になります。

一見、三平方の定理を使う場面か判断しにくい問題もあるため、問題を見極める力も身につけなければなりません。この記事を読んで、しっかりと頭に入れておきましょう!

吉村 暢浩
ポラリスアカデミア代表
「三平方の定理」は、高校入試で頻出の単元!

空間図形における三角形の面積や、四角錐の体積を求める問題において頻出します。

また、高校数学Ⅱの「三角関数」という分野においても、「三平方の定理」を用いて三角比の値(sinΘ、cosΘ、tanΘ)を求める問題を取り扱うので、しっかりと学習しておきましょう!

三平方の定理の証明

三平方の定理

三平方の定理の証明法は、実に100以上あるといわれています。

そのなかで正方形を用いた証明を紹介するので、一緒に考えてみましょう。

斜辺c、ほか2辺がそれぞれa、bとなる直角三角形を4つ組み合わせて、1辺がa+bとなる正方形をつくります。

このとき、大きな正方形の内側に1辺がcとなる小さな正方形ができますよね。

ここで、それぞれの正方形の面積を考えてみます。

まず、大きな正方形の面積は1辺がa+bなので(a+b)²...①

次に、小さな正方形の面積は1辺がcなので...②

また、小さな正方形の面積は、大きな正方形の面積から4つの直角三角形の面積を引くことで求めることができます。

4つの直角三角形の合計面積は、1/2ab×4=2ab...③

①、②、③をまとめると、

(a+b)²-2ab=c² 
a²+2ab+b²-2ab=c² 
a²+b²=c²


以上で証明が終了します。

三平方の定理には、ほかにもさまざまな証明方法があるので、気になる方は調べてみてくださいね!

吉村 暢浩
ポラリスアカデミア代表
「三平方の定理」には、三角形の相似を用いた証明方法もありますよ。
三平方の定理のイラスト
吉村 暢浩
ポラリスアカデミア代表
上図のように、直角三角形ABCの内部に垂線CHを引いた図を考えます。

△ABCと△ACHにおいて、
∠ACB=∠AHC=90°、
∠A共通より、 △ABC∽△ACH…①

△ABCと△CBHにおいて、
∠ACB=∠CHB=90°、
∠B共通より、 △ABC∽△CBH…②
①、②と図より、△CBH∽△ACH∽△ABCで、
相似比=a:b:c
よって面積比=a²:b²:c²となり、
△CBHと△ACHの面積を足すと
△ABCの面積に等しくなることから、
a²+b²=c²となり、
三平方の定理の証明が完了します。


三平方の定理を使って実際に問題を解いてみよう

三平方の定理を使用した問題の画像

それでは早速、三平方の定理を使った練習問題を解いてみましょう。

【問題】次の直角三角形において、xの値を答えなさい。
三平方の定理のイラスト

直角三角形の2辺の長さがわかっているので、三平方の定理を使えば残りの辺の長さを求めることができますね!

それでは、斜辺に注意して三平方の定理に当てはめてみましょう。

問題ではxが斜辺となっているので、

5²+12²=x² 
25+144=x²
x²=169 
x=√169=±13

x>0なので、答えは
x=13です。

斜辺を当てはめる場所さえ間違えなければ、簡単に求めることができます。

吉村 暢浩
ポラリスアカデミア代表
斜辺以外を求める問題は、それぞれ三平方の定理のa、b、cにどれが当てはまるのか?を判別する部分でケアレスミスが起きやすいので、見直しの際には注意が必要です。

また、求める答えは必ず正の数になるため、c²=(負の数)等になった際は、辺の長さを当てはめる際にミスをしている可能性が大きいです。

【最重要】直角三角形の辺の比と角度7パターンを紹介

三平方の定理を表わす画像

三平方の定理はとても便利ですが、辺の長さが大きくなると計算に時間がかかってしまうのが欠点です。

そのため、計算時間を短縮するために、 テストによく出る直角三角形は暗記しておくことがおすすめです。

ここでは、辺や角度に特徴のある7パターンの直角三角形をピックアップ。

覚えやすい語呂合わせも紹介するので、頑張って暗記しましょう!

ピタゴラス数は整数だけで三平方の定理が成立する三辺の比

三平方の定理を満たす3つの数字には、3つともが整数となるような組み合わせが存在します。

たとえば、先ほどの練習問題に出てきた「51213」の組み合わせもその1つ。

このような、3つの数字の組み合わせは「ピタゴラス数」と呼ばれます。

さらに、ピタゴラス数はそれ自身が三平方の定理を満たしますが、それだけでなく、3辺の比がピタゴラス数と同様になるすべての組み合わせがピタゴラス数となるのです。

たとえば、「5:12:13」をそれぞれ2倍した「102426」も三平方の定理を満たします。

①辺の比が3:4:5

三平方の定理のイラスト

ピタゴラス数の中で、もっともシンプルで有名な組み合わせが345です。

三平方の定理で確かめてみましょう。

3²+4²=9+16=25=5²

このように、定理を満たすことがわかりますね。

3:4:5の比をとる直角三角形はテストに出る確率がとても高いので、真っ先に覚えましょう。

以下のような語呂合わせで覚えてしまうのが手っ取り早い方法です。

3:4:5
  • (サヨコ)ちゃん
  • (ミヨコ)ちゃん

②辺の比が5:12:13 

三平方の定理のイラスト

次にシンプルなのが、51213の組み合わせです。

この比をもつ直角三角形も頻出なので、しっかりと覚えておくのが大事。

下記の語呂合わせで覚えましょう!

5:12:13
  • (こ)(いつ)がに(いさん)

③辺の比が8:15:17 

三平方の定理のイラスト

続いての組み合わせは81517

この組み合わせは連続する数字もなく、少し覚えにくいかもしれませんね。

語呂合わせを使って、頑張って暗記しましょう!

8:15:17
  • (はいご)で(じゅうなん)たいそう

④辺の比が7:24:25

三平方の定理のイラスト

最後の組み合わせは72425

24や25の2乗を実際に計算しようとすると、少し面倒ですよね。 暗記で計算時間を短縮しましょう。

下記の語呂合わせで覚えてみてくださいね!

7:24:25
  • (なつ)の(よ)に(つめご)
三平方の定理(ピタゴラスの定理)を証明した日本最古の資料が、東京都千代田区の国立国会図書館に所蔵されています。

永田町駅から徒歩5分ほどの場所なので、気になる方は足を運んでみてはいかがでしょうか?


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平方根(ルート)が含まれる有名な直角三角形の三辺の比

続いて紹介するのは、角度や3辺の比が特徴的な直角三角形。

3辺の比に平方根(ルート)が含まれますが、暗記しておけば簡単に計算できます。

慣れれば暗算で求められるようになるので、スムーズに問題が解けますよ!

⑤辺の比1:1:√2

三平方の定理のイラスト

内角が45°、45°、90°となる(二等辺)直角三角形は、3辺の比が1:1:√2となります。

三角定規に使われている三角形なので、角度を覚えている人も多いかもしれませんね。

角度と辺の比を一緒に覚える必要がありますが、計算がラクになりますよ!

三平方の定理

たとえば、1つの角度が45°、直角に隣り合う1辺の長さが3cmの直角三角形を考えるとき、斜辺の長さはいくつになるでしょうか? 

三平方の定理を使っても求められますが、辺の比が「1:1:√2」と覚えておけば、斜辺は隣辺の√2倍になるので「x=3×√2=3√2」とすぐに計算できます。

⑥辺の比が1:2:√3

三平方の定理

こちらは三角定規でおなじみの三角形。

各角度が30°、60°、90°となる直角三角形は、3辺の比が1:2:√3となります。

三平方の定理を使う場合は2辺の長さが必要。

一方、この直角三角形の場合は、3辺の比さえ暗記しておけば、1辺の長さからほかの2辺を求めることができます。

図形問題でよく使われるので、角度と比の値を正確に暗記しておきましょう!

⑦辺の比が1:2:√5

三平方の定理

直角に隣り合う辺の比が1:2となる直角三角形では、斜辺の比が√5となります。

この直角三角形も覚えておくと、とても便利です。

⑤や⑥と混同してしまわないように注意してください。

忘れてしまった場合は、三平方の定理を使って計算しましょう。

吉村 暢浩
ポラリスアカデミア代表
直角三角形の辺の比で絶対に覚えておかないといけないものは、
3:4:5」「1:1:√2」「1:2:√3」の3つです。

覚えておいたほうが良いものは、
5:12:13」「1:2:√5」の2つがあります。

三平方の定理を使った問題|基礎から応用まで挑戦してみよう

いろいろな問題の画像

それでは実際に例題を解いてみましょう。

まだ三平方の定理や特殊な直角三角形のパターンが頭に入っていないという人も、解説を見ながら一緒に解いてみてください。

手を動かしながら考えると、理解が深まって定着が早くなりますよ!

三平方の定理の基本問題|一辺しかわからなくても解ける!

まずは基本的な問題から挑戦してみましょう。

解き方がわからない場合は、ヒントを見て解いてみましょう。

問題① 次の図において、xの値を答えなさい。

三平方の定理

問題①を解くヒント

直角三角形かつ2辺の長さがわかっているので、三平方の定理を使えば、残りの1辺を求めることができますよね。

三平方の定理に数字を当てはめて、計算してみましょう!

計算をする前に、辺の値を少し眺めてみてください。

あることに気付くことができたら、計算がラクになるかも!

問題①の解答

まずは三平方の定理を使って解いてみましょう。

各辺の値を三平方の定理に当てはめると、

x²+8²=10² 
x²+64=100
x²=100-64=36 
x=√36=±6


x>0なので、答えはx=6です。

この直角三角形の3辺はすべて整数となったことから、6、8、10の組み合わせは「ピタゴラス数」であることがわかりますね。

そして、この3辺の比は「6:8:10=3:4:5」です。

「あること」とは、3:4:5の比を持つ直角三角形だと気付くこと。これに気づければ「x=3×2=6」とすぐに求められますね!

問題② 次の図において、xとyの値を答えなさい。

三平方の定理

問題②を解くヒント

直角三角形ではありますが、辺の長さが1辺しかわかっていないので、三平方の定理を使って求めることは難しそうです。

そのため、三角形の角度に注目してみましょう。

30°、60°、90°の直角三角形であることがわかるので、3辺の比は「1:2:√3」となりますね!

1辺の長さと3辺の比がわかれば、あとは計算するだけです。

問題②の解答

30°、60°、90°の直角三角形の3辺の比は、1:2:√3となります。

対応する辺を間違えないように当てはめると、

x:y:8=1:2:√3

x:8=1:√3 

となるので、√3x=8

x=8 / √3=8√3/3

また、y:8=2:√3となるので、√3y=16

y=16 / √3=16√3/3

問題③ 次の長さを3辺とする三角形のうち、直角三角形であるものを答えなさい。

  • (1)3cm、7cm、8cm
  • (2)16cm、30cm、34cm
  • (3)6cm、12cm、6√5cm

問題③を解くヒント

三角形の3辺a、b、cにおいて「a²+b²=c²」が成り立つとき、その三角形は斜辺をcとする直角三角形であることがいえます。

もっとも長い辺が斜辺になることに注意して、三平方の定理を満たすかどうかを計算で確かめてみましょう。

この「三平方の定理の逆」を使うことで、直角三角形であるかどうかを判断することができますよ!

さらに、頻出の直角三角形のパターンとも照らし合わせみると計算が短縮できるかも!

問題③の解答

(1)3cm、7cm、8cm

もっとも長い辺は8cmなので、a=3、b=7、c=8とすると、

a²+b²=3²+7²=9+49=58
c²=8²=64 
よって「a²+b²=c²」が成り立たないため、直角三角形ではありません


(2)16cm、30cm、34cm

三平方の定理に当てはめてみてもよいですが、計算が大変ですよね。

そこで3辺の比を見てみましょう。

16:30:34=8:15:17となり、この3つの数字の組み合わせはピタゴラス数です。

そのため、この三角形は直角三角形であることがわかります。


(3)6cm、12cm、6√5cm

辺の長さに平方根が含まれるので、ピタゴラス数ではありません。

しかし、平方根を含むパターンの可能性があるので、この問題も3辺の比を確認してみましょう。

6:12:6√5=1:2:√5

この比を持つ三角形も直角三角形でしたね!

ちなみに三平方の定理で確認してみると、

a²+b²=6²+12²=36+144=180

c²=(6√5)²=36×5=180

このことから、「a²+b²=c²」が成り立つことがわかります。

三平方の定理の応用問題|直角三角形を探せば解ける!

基本問題が解けたところで、応用問題にも挑戦してみましょう。

テストや入試では、最初から直角三角形が与えられるわけではありません。

そのため、問題文の図形のなかから直角三角形を見つけ出して、三平方の定理に当てはめることができないかを考えてみましょう。

応用問題① 三角形a、b、cにおいて、xの値を答えなさい。

三平方の定理

応用問題①を解くヒント

三角形a、b、cは直角三角形ではないため、三平方の定理を使うことはできません。

裏を返せば、直角三角形さえつくってしまえば、三平方の定理が使えるということです。

どのようにすれば直角三角形がつくれるのでしょうか?

そこで、頂点aから辺bcに垂線を引いてみてください

そうすると、見覚えのある直角三角形が姿を現すはずです。

応用問題①の解答

三平方の定理

三角形abcの頂点aから、辺bcに垂線を下ろして交点をdと置きます。

そうすると、三角形adcは直角三角形となり、∠dac=60°となりますよね。

よって、三角形adcの辺の比は1:2:√3となるので、

辺ca:辺dc=2:√3

辺ca=5cm dc=1/2xより5:1/2x=2:√3

よって、x=5√3が答えとなります。

応用問題② 縦の長さが7cm、横の長さが10cmの長方形abcdの紙において、対角線bdを折り目にして折り返した。この時、三角形abfの面積を答えなさい。

三平方の定理

応用問題②を解くヒント

辺abの長さがわかっているので、辺afの長さがわかれば三角形abfの面積を求めることができます。

そのため、まずは辺afの長さを求めることを目指しましょう。

三角形abfは直角三角形なので、三平方の定理をうまく利用すれば求められそうですね。

ただし、このままでは情報が少なすぎるので、問題文からわかる情報を整理することから始めましょう。

図形問題を解くときは、与えられた情報を図形に書き込むようにすれば、頭のなかが整理されて考えやすくなりますよ!

応用問題②の解答

三平方の定理

辺af=xとします。

三角形abfと三角形edfにおいて、ab=ed=7cm、∠fab=∠fed=90°

また、∠bfa=∠dfeより、残りの∠abfと∠edfも等しくなります。

1辺とその両端の角が等しくなるため、△abf=△edf

よって、bf=df=10-x

直角三角形abfにおいて、三平方の定理より、

x²+7²=(10-x)²
x²+49=x²-20x+100

20x=51 x=51/20

よって、三角形abfの面積は、(1/2)×(51/20)×7=357/40cm²

吉村 暢浩
ポラリスアカデミア代表
平面図形の応用問題に関しては、2辺のわかる直角三角形を探すようにしましょう。

また、空間図形の応用問題に関しては、
①展開図をイメージし、求める線分の長さや面積を含む平面図形を抜き出す。
②2辺の長さの分かる直角三角形を探す。

以上の点に着目すると、解きやすくなりますよ!

代表的な直角三角形の辺の比を覚えておくことも時間短縮になり、非常に有用です。

三平方の定理まとめ

今回は、三平方の定理について解説しました。

問題を解くときに下記のポイントを意識すると、答えまでの道順が見えてくるはずです。

  • 直角三角形を見たとき、三平方の定理を思い出す
  • 直角三角形の頻出パターンと照らし合わせてみる
  • 三角形の辺が求めたいときは直角三角形を探してみて、なければつくってみる

高校数学では三平方の定理を当たり前のように使って問題を解いていくようになりますが、今のうちにしっかりと基礎を固めておけば応用問題にも立ち向かえるはずです。

この記事で解説したポイントを忘れないように、何度も復習しておきましょう!

三平方の定理をマスターするには、さまざまな問題を解くことが大事です。解けない問題が出てきた際に、質問できる講師がいると心強いですよね!

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坂本 菜緒
この記事を執筆した執筆者
坂本 菜緒

Ameba塾探し 執筆者

ピアノ、体操、フィギュアスケートなどの習い事を掛け持ちしつつ、小学3年生から進学塾に通う。高校受験で山手学院高等学校に進学。その後、大学受験で東京藝術大学美術学部絵画科油画専攻に入学。同校の大学院美術研究科を修了し、美術と工芸の専修免許状を所持。2012年から東京都公立小学校にて勤務。2018年5月に株式会社サイバーエージェントグループ会社である株式会社CyberOwlへ中途入社。2021年3月から「Ameba塾探し」にてエディターとして従事し、保護者の方やお子様にとって、目的にあった最適な習い事に出会える記事作りを目指しています。