球の体積の求め方|公式の覚え方を語呂合わせで覚えよう!【中学数学】

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空間図形分野で学習する「球の体積」は、公式を活用して解く問題が多いため、公式の活用方法を身につけることができれば得意分野にしやすい単元です。

しかし球の体積の公式は覚えにくいため、なぜそうなるのかがわからず苦手意識を抱いている方も多いのではないでしょうか?

球の体積の公式を証明するには高校数学の知識が必要です。

そのため、中学校の段階ではまず内容を確実に覚えておかなければなりません。

この記事では、球の体積の公式を簡単に覚えられる語呂合わせ方法を紹介するとともに、練習問題も解いていきますので、ぜひ一緒に球の体積をマスターしましょう!

  1. 球の体積の求め方とは?公式はV=4/3πr³
  2. 球の体積の求め方の公式を語呂合わせで覚えよう!
  3. ここからは練習問題!実際に公式を使って計算して例題を解いてみよう!
  4. まとめ

球の体積の求め方とは?公式はV=4/3πr³

球の体積をV、球の半径をr、円周率をπとします。

このとき、球の体積について以下の式が成り立ちます。

球の体積1

球の体積の公式がなぜこうなるのかという点に関しては、中学数学の範囲で証明することはできません。

しかし、この半径rの球がぴったりおさまる円柱と体積を比べたとき、その比は「球:円柱=2:3」となることを覚えておきましょう。

球の体積がイメージしやすくなり、公式を忘れたときにも役立ちます。

「半径rの球がぴったりおさまる円柱」とは、底面の半径がr、高さ2rの円柱です。

円柱の体積は「底面積×高さ」なので、π×2r2π

「球:円柱=2:3」という関係性より、球の体積は2πr³×2/3=4/3πr³

先ほど確認した球の体積の公式と同じ式が求められますね。

球の体積2

球の体積の求め方の公式を語呂合わせで覚えよう!

覚えにくい球の体積の公式は、語呂合わせを活用しましょう。

ここでは、おすすめの語呂合わせを3種類ご紹介します。

球の体積語呂合わせ1 球の体積語呂合わせ2 球の体積語呂合わせ3

①と②は似ていますが、自分が覚えやすい語呂合わせをどれか1つ覚えておきましょう。

ここからは練習問題!実際に公式を使って計算して例題を解いてみよう!

では、実際に球の体積の公式を使って問題を解いていきます。

高校入試でも球の体積の応用問題が出題されることがあるので、繰り返し解いて問題に対する考え方を身につけましょう。

体積を求める問題①

球の体積3

問題①を解くヒント

問題①の解答

扇形を回転させると、半径6cmの半球になります。

球の体積の公式「V=4/3πr³」に、r=6を代入します。

V=4/3π×6³=288π

よって半球の体積は、

288π÷2=144π

解答は、144πcm³となります。

体積を求める問題②

球の体積4

問題②を解くヒント

問題②の解答

球の体積5

図のように点に名前を打つと、容器と球がぴったりついたことから、∠OHA=90°

∠OHA=∠CDA=90°であり、∠OAH=∠CADなので、△OHA∽△CDA

よって対応する辺の比が等しいので、球の半径をrとすると 12:4=12-r:r

よって、r=3

球の体積の公式「V=4/3πr³」にr=3を代入します。

V=4/3π×3³=36π

よって球の体積は、36πcm³

体積を求める問題③

球の体積6

問題③を解くヒント

問題③の解答

球の体積7

鉄球の体積をV₁とすると、V₁=4/3π×3³=4π×3×3=36π(cm³)…①

水槽の水が入っていない空間の体積をV₂とすると、V₂=4²×π×2=32π(cm³)…②

鉄球を入れて水があふれるということは、鉄球の体積V₁の方が水の入っていない空間の体積V₂よりも大きかった、ということになります。

よって、あふれる水の量V₃は (鉄球の体積V₁)-(水がない空間の体積V₂)

①、②より、 V₃=V₁-V₂=36π−32π=4π

よって解答は、4πcm³

まとめ

球の体積の公式は、語呂合わせを使うと覚えやすくなります。

今回は3種類取り上げているので、一番頭に残りやすそうなものを使ってみてくださいね。

また、球の体積を求めるポイントは、球の半径を明らかにすることです。

入試で出題されるような応用問題では、空間図形と平面図形を融合させている問題も多いです。

さまざまな問題にチャレンジして解き方を身につけていきましょう。

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