中1数学の空間図形分野で学習する「球の体積」は、公式を使って解く問題が多いため、公式の活用方法を身につれば得意分野にしやすいでしょう。
また、球の体積の公式を証明するには、高校数学の知識が必要です。そのため、中学校の段階ではまず内容を確実に覚えておかなければなりません。
この記事では、球の体積の公式を簡単に覚えられる語呂合わせ方法を紹介するとともに、練習問題も解いていきます。ぜひ一緒に球の体積をマスターしましょう！
球の体積の求め方とは？公式はV=4/3πr³
球の体積は4/3×(半径)×(半径)×(半径)×円周率で求めることができます。ポイントとして、公式を抑えておきましょう。
球の体積をV、球の半径をr、円周率をπとします。
このとき、球の体積について以下の式が成り立ちます。
球の体積の公式： V=4/3πr³
球の体積の公式がなぜこうなるのかという点に関しては、中学数学の範囲で証明することはできません。
しかし、この半径rの球がぴったりおさまる円柱と体積を比べたとき、その比は「球:円柱=2:3」となることを覚えておきましょう。
球の体積がイメージしやすくなり、公式を忘れたときにも役立ちます。
「半径rの球がぴったりおさまる円柱」とは、底面の半径がr、高さ2rの円柱です。
円柱の体積は「底面積×高さ」なので、πr²×2r＝2πr³
「球:円柱=2:3」という関係性より、球の体積は2πr³×2/3=4/3πr³
先ほど確認した球の体積の公式と同じ式が求められますね。
球の体積の公式を語呂合わせで覚えよう！
覚えにくい球の体積の公式は、語呂合わせを活用しましょう。
ここでは、おすすめの語呂合わせを3種類ご紹介します。
①と②は似ていますが、自分が覚えやすい語呂合わせをどれか1つ覚えておきましょう。
球の体積の練習問題｜公式を使って解いてみよう！
では、実際に球の体積の公式を使って問題を解いていきます。
高校入試でも球の体積の応用問題が出題されることがあるので、繰り返し解いて問題に対する考え方を身につけましょう。
体積を求める問題①
問題①を解くヒント
問題①の解答
扇形を回転させると、半径6cmの半球になります。
球の体積の公式「V=4/3πr³」に、r=6を代入します。
V=4/3π×6³=288π
よって半球の体積は、
288π÷2=144π
解答は、144πcm³となります。
体積を求める問題②
問題②を解くヒント
問題②の解答
図のように点に名前を打つと、容器と球がぴったりついたことから、∠OHA=90°
∠OHA=∠CDA=90°であり、∠OAH=∠CADなので、△OHA∽△CDA
よって対応する辺の比が等しいので、球の半径をrとすると
12:4=12-r:r
よって、r=3
球の体積の公式「V=4/3πr³」にr=3を代入します。
V=4/3π×3³=36π
よって球の体積は、36πcm³
体積を求める問題③
問題③を解くヒント
問題③の解答
鉄球の体積をV₁とすると、V₁=4/3π×3³=4π×3×3=36π(cm³)…①
水槽の水が入っていない空間の体積をV₂とすると、V₂=4²×π×2=32π(cm³)…②
鉄球を入れて水があふれるということは、鉄球の体積V₁の方が水の入っていない空間の体積V₂よりも大きかった、ということになります。
よって、あふれる水の量V₃は
(鉄球の体積V₁)-(水がない空間の体積V₂)
①、②より、
V₃=V₁-V₂=36π−32π=4π
よって解答は、4πcm³
球の体積のまとめ
球の体積の公式は、語呂合わせを使うと覚えやすくなります。
ご紹介した3つの語呂合わせのなかから、一番頭に残りやすそうなものを使ってみてくださいね。
また、球の体積を求めるポイントは、球の半径を明らかにすること。
入試で出題されるような応用問題では、空間図形と平面図形を融合させている問題も多くあります。
さまざまな問題にチャレンジして解き方を身につけていきましょう。
