球の体積の求め方｜公式の覚え方を語呂合わせで紹介！【中学数学】

中1数学の空間図形分野で学習する「球の体積」は、公式を使って解く問題が多いため、公式の活用方法を身につければ得意分野にしやすくなります。

また、球の体積の公式を証明するには、高校数学の知識が必要です。そのため、中学の段階で、まず内容を確実に覚えておかなければなりません。

この記事では、球の体積の公式を簡単に覚えられる語呂合わせ方法を紹介するとともに、練習問題も解いていきます。ぜひ一緒に球の体積をマスターしましょう！

球の体積の求め方とは？公式はV=4/3πr³

球の体積は4/3×(半径)×(半径)×(半径)×円周率で求めることができます。ポイントとして、公式を抑えておきましょう。

球の体積をV、球の半径をr、円周率をπとします。

このとき、球の体積について以下の式が成り立ちます。

球の体積の公式： V=4/3πr³　

球の体積の公式がなぜこうなるのかという点に関しては、中学数学の範囲で証明することはできません。

しかし、この半径rの球がぴったりおさまる円柱と体積を比べたとき、その比は「球:円柱=2:3」となることを覚えておきましょう。

球の体積がイメージしやすくなり、公式を忘れたときにも役立ちます。

「半径rの球がぴったりおさまる円柱」とは、底面の半径がr、高さ2rの円柱です。

円柱の体積は「底面積×高さ」なので、πr²×2r＝2πr³

「球:円柱=2:3」という関係性より、球の体積は2πr³×2/3=4/3πr³

先ほど確認した球の体積の公式と同じ式が求められますね。

球の体積の公式を語呂合わせで覚えよう！

覚えにくい球の体積の公式は、語呂合わせを活用しましょう。

ここでは、おすすめの語呂合わせを3つご紹介します。

①と②は似ていますが、自分が覚えやすい語呂合わせをどれか1つ覚えておきましょう。

中学生のうちから球の体積について理解しておけば、高校の数学でも活用することができます。

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球の体積の練習問題｜公式を使って解いてみよう！

では、実際に球の体積の公式を使って問題を解いていきます。

高校入試でも球の体積の応用問題が出題されることがあるので、繰り返し解いて問題に対する考え方を身につけましょう。

体積を求める問題①

半径6cm、中心角90°の扇形を、直線ABを軸として1回転させてできる立体の体積を求めなさい。

問題①を解くヒント

この問題は図形を回転させたときにできる立体を想像する必要があります。中心角90°の扇形とあるので半球になりそうですね！

体積は公式に半径の値を代入することで求めることができます。球全体の体積ではないので注意しましょう！

問題①の解答

扇形を回転させると、半径6cmの半球になります。

球の体積の公式「V=4/3πr³」に、r=6を代入します。

V=4/3π×6³=288π

よって半球の体積は、

288π÷2=144π

解答は、144πcm³となります。

体積を求める問題②

図のように、円錐の容器の内側の面にぴったりつくように球を入れました。この円錐の容器の底面の半径は4cm、母線の長さは12cmです。このとき、円錐の容器の頂点から球の最上部までの高さは、母線の長さと等しく12cmとなりました。この球の体積を求めなさい。ただし、容器の厚みは考えないものとします。

問題②を解くヒント

球の中心から、球と容器との接触点に向かって線を引いたとき、この線と母線がつくる角度は90°になります。

断面図より、相似になる三角形を見つけましょう。

球の半径がわかれば、体積を求めることができます！

問題②の解答

図のように点に名前を打つと、容器と球がぴったりついたことから、∠OHA=90°

∠OHA=∠CDA=90°であり、∠OAH=∠CADなので、△OHA∽△CDA

よって対応する辺の比が等しいので、球の半径をrとすると 12:4=12-r:r

よって、r=3

球の体積の公式「V=4/3πr³」にr=3を代入します。

V=4/3π×3³=36π

よって球の体積は、36πcm³

体積を求める問題③

底面の半径4cm、高さ10cmの円柱状の水槽の高さ8cmまで水が入っている。この水槽に半径3cmの鉄球を入れたとき、水槽からあふれる水の量を求めなさい。

問題③を解くヒント

球の体積、円柱の体積は、必要な値が揃っているので公式を使ってすぐに求めることができます！

水槽からあふれるということは、鉄球の体積の方が水の入っていない空間の体積よりも大きかったということを表しています。

問題③の解答

鉄球の体積をV₁とすると、V₁=4/3π×3³=4π×3×3=36π(cm³)…①

水槽の水が入っていない空間の体積をV₂とすると、V₂=4²×π×2=32π(cm³)…②

鉄球を入れて水があふれるということは、鉄球の体積V₁の方が水の入っていない空間の体積V₂よりも大きかった、ということになります。

よって、あふれる水の量V₃は (鉄球の体積V₁)-(水がない空間の体積V₂)

①、②より、 V₃=V₁-V₂=36π−32π=4π

よって解答は、4πcm³

球の体積まとめ

球の体積の公式は、語呂合わせを使うと覚えやすくなります。

紹介した3つの語呂合わせのなかから、一番頭に残りやすそうなものを使ってみてくださいね。

また、球の体積を求めるポイントは、球の半径を明らかにすること。

入試で出題されるような応用問題では、空間図形と平面図形を融合させている問題も多くあります。

さまざまな問題にチャレンジして解き方を身につけていきましょう。

この記事を執筆した執筆者

坂本 菜緒

Ameba塾探し 執筆者

ピアノ、体操、フィギュアスケートなどの習い事を掛け持ちしつつ、小学3年生から進学塾に通う。高校受験で山手学院高等学校に進学。その後、大学受験で東京藝術大学美術学部絵画科油画専攻に入学。同校の大学院美術研究科を修了し、美術と工芸の専修免許状を所持。2012年から東京都公立小学校にて勤務。2018年5月に株式会社サイバーエージェントグループ会社である株式会社CyberOwlへ中途入社。2021年3月から「Ameba塾探し」にてエディターとして従事し、保護者の方やお子様にとって、目的にあった最適な習い事に出会える記事作りを目指しています。

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