円周角の定理は、円周角と中心角の関係や円周角と弧の関係を表したもので、中学3年生の「数学」で初めて学習し、高校数学でも扱われます。
数学では、円周角の定理を使うと一発で解ける問題も多いため、必ず押さえておきたい単元です。
しかし実際に勉強してみると、単純に角度を求める問題だけでなく、証明問題も出題されるため苦手意識を抱いている人も多いのではないでしょうか？
この記事では、円周角の定理についてわかりやすく紹介するとともに、つまずきやすい証明問題の解き方を解説します。
入試で円周角の定理を使った証明問題が出題されることもあるため、基礎から応用までさまざまな問題に触れて試験に臨んでください！
円周角の定理とは？
「円周角の定理」は、円周上の一点から異なる二点へ線を引くことでできる、円周角と中心角について成り立つ法則です。
円の中で円周角が等しいとき，その弧の長さも等しく、反対に，円の中で弧の長さが等しいとき，それに対する円周角も等しいのが円周角の定理です。
以下では円周角の定理を理解するうえで重要な「円周角」と「中心角」の位置関係について説明します。
図のように、円周上の2点A・Bをつなぐ曲線を「弧AB」といいます。
そして、弧AB以外の円周上に点Pを取るとき、∠APBを「円周角」と呼びます。
また、円の中心をOとするとき、∠AOBを「中心角」と呼びます。
円周角の定理は、円の問題を解くカギとなる重要な法則なのでしっかり押さえておきましょう。
円周角の定理- ひとつの弧に対する円周角の大きさは等しい
- ひとつの弧に対する円周角の大きさは中心角の半分
円周角の定理は「円周角」と「中心角」から成り立つ
円周角の定理では、共通の弧をもっている限り点Pを円周上のどこに取っても円周角は等しくなります(弧の上を除く)。
また、円周角がどこにあっても、共通の弧をもっていれば円周角の大きさは中心角の半分になります(弧の上を除く)。
この法則をもとに考えると、ほかにも円周角や中心角に関する性質を導くことができます。
ここでは、重要なポイントとなる「円周角と弧」の関係と「円周角と直径」の関係を確認しておきましょう。
重要ポイント① 円周角と弧の関係を理解しよう
上の図において、弧ABと弧CDの長さは等しいとします。
ひとつの円のなかで弧の長さが等しい円周角が複数あるとき、それら円周角の大きさも等しくなる性質があります。
これは、円周角の定理「ひとつの弧に対する円周角の大きさは等しい」という法則を思い出すとわかりやすいですね。
反対に、円周角が等しいとき弧の長さも等しくなるので覚えておきましょう。
円周角が等しいとき、それに対する弧の長さも等しい重要ポイント② 円周角と直径の関係を理解しよう
上の図において線分ABは円Oの直径であり、弧ABは半円であるとします。
線分ABが直径ということは、円Oの中心角は180°であることがわかりますね。
ここで円周角の定理「ひとつの弧に対する円周角の大きさは中心角の半分」という法則を思い出してみましょう。
すると円周角である∠APBは90°となります。
つまり、直径が出てきたらその円周角は90°と覚えておきましょう。
半円の弧に対する円周角は90°
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【中学生向け・高校入試対策】円周角の定理の証明問題｜基礎から応用まで
円周角の定理を使った証明問題は、高校入試でも出題されやすい傾向にあります。
基礎から応用まで練習問題を解いて、解き方や考え方を身につけましょう。
基礎問題①
円Oの円周上に3点A・B・Pを取る。図のように、点Pが線分OBの延長上にあるとき、円周角の定理∠APB=1/2∠AOBが成り立つことを証明しなさい。基礎問題①を解くヒント
「外角の定理」とは、「三角形の1つの外角はそれと隣り合わない2つの内角の和に等しい」というものでしたね！
基礎問題①の回答
OP・OAはそれぞれ円Oの半径なのでOP=OA。
よって、△OPAはOP=OAの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいので、∠OAP = ∠OPA…(1)
また、三角形の外角の定理より、∠AOB=∠OAP+∠OPA…(2)
(1)、(2)より、 ∠APB=1/2∠AOBとなり、円周角の定理が成り立つ。
基礎問題②
円Oの円周上に3点A・B・Pを取る。図のように、中心Oが∠APBの外部にあるとき、円周角の定理∠APB=1/2∠AOBが成り立つことを証明しなさい。基礎問題②を解くヒント
基礎問題②の回答
OPを延長した線分と円周の交点をQとする。OP・OAはそれぞれ円Oの半径だから、OP=OA
よって、△OPAはOP=OAの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、∠OAP=∠OPA…(1)
三角形の外角の定理より、∠AOQ=∠OAP+∠OPA…(2)
(1)、(2)より∠APQ=1/2∠AOQ…(3)
次に、OP・OBはそれぞれ円Oの半径だからOP=OB
よって、△OPBはOP=OBの二等辺三角形である。
二等辺三角形の底角は等しいから、∠OBP=∠OPB…(4)
三角形の外角の定理より、
∠BOQ=∠OBP+∠OPB…(5)
(4)、(5)より∠BPQ=1/2∠BOQ…(6)
(3)・(6)より、
∠BPQ-∠APQ=1/2∠BOQ-1/2∠AOQ
よって、∠APB=1/2∠AOBとなり、円周角の定理が成り立つ。
基礎問題③
図の円で、4点A・B・C・Dが円周上にある。AC・BDの交点をPとするとき、△APB∽△DPCであることを証明しなさい。基礎問題③を解くヒント
弧AD・弧BCの円周角に注目し、同じ角度になるところを探しましょう！
基礎問題③の解答
弧ADに対する円周角は等しいので、∠ABD=∠ACD…(1)
弧BCに対する円周角は等しいので、∠BAC=∠BDC…(2)
△APBと△DPCにおいて、(1)(2)より∠ABP=∠DCP…(3) ∠BAP=∠CDP…(4)
(3)(4)より、2組の角がそれぞれ等しいので△APB∽△DPCが成り立つ。
応用問題①
ここからは応用問題。
繰り返し解いて解き方や考え方を身につければ、ほかの問題でも活かせるよ！
図のように、3点A・B・Cは円Oの円周上の点で、OA⊥OBである。直線BOがACと交わる点を点D、円Oと交わる点を点Eとして、点Eと点Cを結ぶ。ただし、点Cは直径BEについて点Aの反対側にあるものとする。このとき△ABC∽△EDCを証明しなさい。応用問題①を解くヒント
相似を証明したいときは、それぞれの三角形のうち2組の角が等しいという流れに導こう。
応用問題①の解答
△ABCと△EDCにおいて、弧BCに対する円周角より∠BAC=∠DEC…(1)
弧ABに対する円周角より、∠ACB=1/2∠AOB=45°…(2)
弧AEに対する円周角より、∠ECD=∠EBA=45°…(3)
(2)(3)より、∠ACB=∠ECD…(4)
(1)(4)より、2組の角がそれぞれ等しいので△ABC∽△EDCである。
応用問題②
図のように、線分ABを直径とする円Oがある。線分OB上に、2点O、Bと異なる点Cをとる。点Cを通り、線分OBと垂直に交わる直線と、円との交点をD、Eとする。また線分DOの延長線と円との交点をFとする。3点A、E、Fをそれぞれ結び、2点A、Dを結ぶ。このとき△AOF∽△DAEとなることを証明しなさい。応用問題②を解くヒント
平行線における錯角は等しい。
弧DEと弧ADに注目して、円周角の定理を活用しよう！
応用問題②の解答
△AOFと△DAEにおいて、仮定より∠DCA=90°…(1)
線分DFは直径なので、∠DEF=90°…(2)
(1)(2)より、∠DCA=∠DEF…(3)
(3)より、同位角が等しいので、線分ABと線分FEは平行である。…(4)
(4)より、平行線における錯角は等しいので、∠DFE=∠DAE…(5)
弧DEに対する円周角は等しいので、∠DFE=∠DAE…(6)
(5)(6)より、∠AOF=∠DAE…(7)
弧ADに対する円周角は等しいので、∠AFO=∠DEA…(8)
(7)(8)より、2組の角がそれぞれ等しいので△AOF∽△DAE
【高校生向け・大学入試対策】円周角の定理の証明問題｜基礎から応用まで
円周角の定理は高校でも数学A「平面図形」の分野で学習します。
中学よりも柔軟な思考が必要になる問題が多いので、さまざまなパターンの問題を解いて大学入試対策としても役立てましょう。
基礎問題①
図のように、円Oの円周上に3点A・B・Cを取る。弧ABが円周の長さの半分よりも長いとき、円周角が中心角の半分の大きさになることを証明しなさい。基礎問題①の解答
線分OCを引くと、△CABを2つの△CAOと△CBOに分けることができます。
ここで、△CAOと△CBOの辺AO、辺CO、辺BOは、すべて円の半径なので長さが等しくなります。
したがって、△CAOと△CBOは二等辺三角形であり、その角について、∠OAC=∠OCA、∠OBC=∠OCBが成り立ちます。
そこで、∠OAC=a、∠OBC=bとおくと、△CAOと△CBOの内角の和について、
180°=2a+∠AOC…(1)
180°=2b+∠BOC…(2)
弧ABは円周の長さの半分より長いので、中心角の反対側の∠AOBについて、
∠AOB=∠AOC+∠BOC…(3)
さらに、中心角の角度をcとすると、
c=360°–∠AOB…(4)
式(3)に式(1)(2)(4)を代入して、∠AOB、∠AOC、∠BOCを消去すると、
360°–c=(180°−2a)+(180°–2b)c=2a+2b=2(a+b)=2∠ACB
したがって、円周角は中心角の半分の大きさになる。
基礎問題②
図のように点L・M・Nはそれぞれ円に内接する四角形ABCDの辺AB・BC・ADの中点である。 また、直線MLと直線DAの交点をP、直線NLと直線CBの交点をQとする。このとき、4点M・N・P・Qはひとつの円周上にあることを証明しなさい。基礎問題②の解答
△ABCにおいて、点L・MはAB・BCの中点なので、LMとACは平行である。
よって、∠LMB=∠ACB…(1)
△ABDについても同様に考えると、LNとBDは平行である。
よって、∠LNA=∠BDA…(2)
円周角の定理より、∠ACB=∠BDA…(3)
(1)(2)(3)より、∠LMB=∠LNA
よって、∠PMQ=∠QNP
また、2点M・Nは直線PQについて同じ側にあるので、4点M・N・P・Qはひとつの円周上にある。
応用問題
ここからは応用問題！
大学入試共通試験でも出題されやすいので、しっかりマスターしておきましょう。
半径1の円に内接するAB=1の長方形ABCDを考える。点Aを含まない弧BCの中点をEとすると、∠EBC=30°となることを証明しなさい。また、四角形BECDの面積を求めなさい。応用問題を解くヒント
四角形BECDの面積は、△OBE、△OEC、△OCDの面積を足したもののなる。
応用問題の解答
円の中心をOとすると、△OABはOA=OB=AB=1の正三角形である。
よって∠ABD=60°である。
円周角の定理より、
∠EBC＝1/2∠EOC
=1/2・1/2∠BOC
=1/4(180°-∠AOB)
=1/4(180°-60°)＝30°
よって∠EBC＝30°となる。
続いて面積を求めます。
△OBE、△OEC、△OCDはすべて1辺の長さが1の正三角形であるから、求める面積は、
3×(1/2・1²・sin60°)=3√3/4
よって、四角形BECDの面積は3√3/4
円周角の定理の逆とは？
ここまで、円周角の定理について学習してきました。
円周角の定理では、「ひとつの弧に対する円周角は等しい」という法則でしたね。
中学3年の数学では、この円周角の定理に加え、「円周角の定理の逆」とをセットで学習します。
円周角の定理の逆は、「円周角が等しいならば、その4点は円周上にある」という法則です。
「円周角の定理の逆」については、下記の記事で詳しく紹介しています。あわせてチェックしてみてくださいね！
まとめ
円周角の定理を使った図形分野は、角度を求める問題も多いですが、配点が高く周りとの差をつけやすいのは証明問題です。
証明問題は自分で文章を組み立てる必要があるため、苦手意識を持つ人も多いですが、何度も繰り返し解くことで「どのような順番で証明していくか」「どこで円周角の定理を使うか」といったポイントを押さえられるようになります。
ご紹介した練習問題で証明問題に慣れ、わからなくなったときは冒頭の解説を参考にしてみてくださいね。
